AI正在引發數學界的地震。本月初，OpenAI一次性公開了700餘篇完全由AI生成的數學預印本。菲爾茲獎得主陶哲軒公開表示，數學家苦思多年、以“英雄”姿態攻克難題的“浪漫時代”，可能即將終結。但在另一位菲爾茲獎得主、法國數學家洛朗·拉福格（Laurent Lafforgue）看來，AI大規模改變數學的寫作和生產方式的同時，也是數學家集體反思數學生產的好機會。在AI時代，數學家的地位也無可替代。
10月28日，拉福格在復旦大學“浦江科學大師講壇”演講中，從另外一個角度切入數學與AI的關係：大語言模型在文本和圖像上取得了如此驚人的成功，背後可能也藏著一個尚未被識別的結構，而這正是需要數學家去探索的領域。
菲爾茲獎得主、法國數學家洛朗·拉福格（Laurent Lafforgue）在“浦江科學大師講壇”發表演講。圖片來自主辦方
AI的數學悖論
拉福格提到，AI應用的成功有一個共同的先決條件：真實人類寫下的海量文本和拍攝的海量圖像。大語言模型之所以能預測下一個詞元、補全一段文本，恰恰暗示著那個由無數人寫下的文本庫內部，存在著某種數學性的秩序。如果數據是完全不規則的、不連續的集合，系統就不可能從中學到任何可以推廣的東西，更不可能用有限的計算去逼近一個全局結構。問題在於：“我們知道有一個結構，但不知道這個結構是什麼樣”。
這正是讓數學家感到不安的地方。工程師把詞元編號、嵌入為向量、用海量算力反覆調整參數，模型“起作用了”。但拉福格指出，這些向量並非來自任何物理測量，“對數學家來說甚至是任意的”。AI的成功正是建立在對這種成功本質的不理解之上，“對於數學家來說，這一點尤其令人不滿意。”
要追問這個“結構”是什麼，拉福格選擇從亞歷山大·格羅滕迪克那裡汲取靈感。格羅滕迪克是20世紀最具革命性的數學家之一，現代代數幾何的奠基人。傳統幾何學關心一個空間裡“有哪些點”“點的座標是什麼”，格羅滕迪克則轉而追問，點是否是合適的幾何概念？
他由此創立了拓撲斯（topos）理論，用“層”與“覆蓋”的語言重新定義“空間”——空間不再是一些點構成的集合，而可以用完全不同的方式，用代數的語言加以描述。
格羅滕迪克的視角
拉福格是格羅滕迪克的信徒。他2002年獲得菲爾茲獎的工作——證明正特徵函數域上的一類朗蘭茲對應——本身就是在格羅滕迪克所奠定的代數幾何框架中完成的。
在他看來，面對AI“黑箱”，格羅滕迪克的思路非常有用：不要一上來就問“這個詞是什麼意思”“這個圖像對應哪個點”，而應當把全部文本或全部圖像作為一個整體空間來看待，問它們是否能被賦予一個連續的、可分類的幾何結構。
圍繞大語言模型的數學研究已經形成了幾條相當不同的路徑，如統計學習、動力系統與組合論，但都將給定的大語言模型作為研究對象，將它視作參數空間、狀態軌跡或架構的組合規則。但在格羅滕迪克理論的視野中，這個問題被顛倒過來：如果人類數據本身就具備某種不為人知的結構，那麼大模型與之“同構”，成功就是理所當然的。
雖然圖像和文本可以用數據點等形式來定義，但拉福格提醒說，拓撲斯理論的長處正在於其放棄了點的定義——就像在生活中從未真正“看見”過一個抽象的數學點一樣。該理論捕捉的是覆蓋、黏合和連續變化的整體模式，而這些模式則比點要更符合直覺。
“比如‘覆蓋’的概念，這意味著你有一些更大的東西，是由更小的東西來進行覆蓋的——像上海這樣大的城市，是由不同的區來覆蓋的；衣服都是由更小的布塊被紡織到了一起，成為一件衣服來覆蓋我們的身體。”拉福格說。
數學家要做的，是把這種“小東西拼成大東西”的直覺變成可運算的結構：給定一個空間，先指定一族局部小塊，再規定哪些小塊可以拼在一起、拼法是否唯一，這套“覆蓋與黏合”的規則刻畫了這個空間的整體形狀。而“層”就是附著在這套覆蓋規則上的數據——它為每個局部小塊分配一個對象（比如一段文本、一個函數、一組概率），並要求這些局部數據在重疊處彼此相容、能一致地黏合。
用這種語言重新描述大語言模型，拉福格得到了一個與眾不同的圖景：模型不是在給每個詞指定一個固定意義，而是在一個由覆蓋規則組織起來的文本空間裡，計算哪些局部續寫能夠一致地拼成整體——這正是“層”與“覆蓋”在大模型身上的對應物。
拉福格認為，如果AI的文本生產背後確實存在一個數學結構，那麼拓撲斯提供了一種不依賴“點”的語言去逼近它的可能路徑。當然這個想法是否最終會成為洞悉大模型規律的框架，還需要數學家們繼續探索。
語言之外
拉福格提到，大語言模型完全在人類語言空間內部運作。它處理的是已經被寫下來的文本，輸出的是可以被詞元序列表達的文本，可以極其高效地在既有語言的地形上“鋪路”，卻看不見那些尚未被語言命名、尚未進入符號系統的東西。
現場一位同學詢問拉福格，AI是否能生成對自身的數學描述從而改進自己？拉福格回答，這種描述一定不會是格羅滕迪克式的——數學在某種意義上是一種解釋性的科學，我們不斷尋找某些東西，找到之後給它命名，它才進入可把握的存在。如果沒有被命名，它就存在於語言系統之外。AI系統“完全處於我們的語言空間和領域之內，它可能不一定能夠看到或理解那些還沒有在我們語言體系裡出現或被命名的東西”。
拉福格並不否認AI會大規模改變數學的寫作和生產方式，但他認為，這恰恰是數學家集體反思數學生產的好機會。
他告訴記者，20世紀之前的數學文學色彩更濃，現代數學那種命題化、結構嚴整的寫作範式、注重解題的風格很大程度上是美國學派推動並被全球採納的結果。而在AI的衝擊下，這種高度標準化的範式可能鬆動，當人在形式化證明的道路上無法與AI匹敵時，像俄羅斯學派那樣把數學重新理解為一種與哲學、文學相通的活動可能會復興，甚至誕生全新的風格。
拉福格提到，他多次參加中國的會議活動，這些會議把完全不同領域的人聚集在一起，是非常有意義的事。在科學史中，數學與物理、計算機科學的關係都非常重要，與哲學與文學的關係也比想象中近得多：帕斯卡既是數學家，又是法國最偉大的作家和哲學家之一，還是歷史上第一個設計計算器的人；而格羅滕迪克本人文筆極好，常被稱為“詩人”。
除了風格上的轉變，拉福格不認為數學家會“失業”。“如果AI生產數學文本，卻沒有數學家去研究、核驗，那些文本就失去了意義。”他說，“數學家的位置無可替代”。
對於學生的教育，他則認為，AI寫作可用於學習數學和外語，但學習本身是傳統活動，需要付出努力，尤其是寫作能力和計算能力。機器不能取代人的努力，只能提供資源。
拉福格說，法國教授普遍對中國學生很滿意，他們學習勤奮、知識紮實、做事認真、尊重老師，但缺點是不愛提問。但AI的出現帶來了一個好的現象，很多學生先問AI，再獲得向教授提問的信心。
“教授們其實很高興被問到困難的問題。”他說。
來源：澎湃新聞
