2023年暑假，在北京大學的一場開班討論上，北京大學博雅特聘教授、從事應用數學研究的董彬向學生們拋出一個問題：人工智能何時可以解決一個真實的數學猜想？大多數學生認為還需要一二十年，但董彬篤定判斷：3年。
3年後，2026年10月6日，OpenAI在GitHub發佈了722份預印本，稱在幾何、計算機科學、代數及其他學科的372個數學問題上取得了進展。儘管在發佈不到24小時後，OpenAI因錯誤撤回其中3篇手稿，但這批由AI產出的數百項數學新發現，仍在短時間內攪動甚至推進了高等數學的研究前沿。
2026年，AI在數學領域的進展，比董彬設想的來得更快、更猛烈，但對董彬來說，觸發的不是焦慮，而是興奮。
“我看到了數學能夠更好地支持科學和工程更好的未來，而不用困在過去那些理論、那些機械化的細節裡了。”同時擔任國際機器學習研究中心副主任的董彬表示，過去數十年，數學的發展極度緩慢，學科壁壘越來越高。回望數千年的數學發展史，人類的探索速度近似線性，但數學留給人類探索的空間卻呈雙指數增長。
“人類迄今所觸及的部分，連冰山一角都談不上。”董彬說，“如果真正熱愛數學，就能夠意識到，數學要走出數學。如果我們把目光投向未來而非眼前，就能看見無比廣闊的可能性。”
北大教授董彬
走出數學危機
“如果只是把數學狹隘地定義為證明定理，現在確實岌岌可危，但我一點都不擔心，因為我從來沒有把數學定義為證明定理。”董彬表示，簡潔優美的數學是我們理解世界最底層的語言，它不應被窄化為基礎數學。數學的本質是更好地理解世界和改造世界，為科學與工程提供支撐。前沿科技領域的痛點，核心往往是底層的數學問題。可控核聚變、量子技術、芯片製造，背後大量問題本質上都屬於科學計算範疇，包括微觀、介觀、宏觀尺度下的方程求解與數據表徵。
過去數十年，無論是基礎數學、應用數學還是計算數學，即便是相近細分方向的研究者，也常常難以讀懂彼此的工作，數學與其他學科之間的壁壘同樣日益加深，這正是數學面臨的危機。
產業端對數學能力的現實需求常常得不到滿足，根源在於底層數學理論長期缺少突破性進展。數學能力可以分為四個層級，分別是定理證明、提出問題、搭建理論體系和麵向現實場景的學科交叉。越往後，難度越高，能力越稀缺，也越考驗數學家的品味、審美、判斷以及跨領域的視野。
“說白了，我們的知識面太狹窄了。人類數學家窮盡一生，可能都只是在研究某一類甚至某個方程在特定條件下的數值解法。我們能調動的工具終究只是自己畢生所學，沒有接觸過數學其他領域的方法，甚至都不知道它的存在。”
AI的出現恰恰有望化解這場危機。
過去，要想開展大範圍的跨學科研究，門檻很高，現在只要研究者有探索的意願，就可以順著一種數學工具、數學方法，追溯它背後的問題。AI打破了數學的壁壘，打通供需匹配，讓數學家可以更靈活地調動現有工具，加速發展新的工具，從底層突破算法和建模瓶頸，向外拓展邊界，把數學的能力工程化，把數學的需求規模化。
“數學發揮價值，更多是在數學以外的學科，而不在數學本身。”董彬說，數學天然是要走出去的，向外延伸，天地廣闊。
走出迂迴的證明
根據董彬的觀察，數學家對待AI的態度大致可歸為三類：一部分數學家仍堅守“古法數學”，核心推導與論證依靠“手搓”，AI僅承擔文獻檢索的輔助工作；另一部分學者接納AI作為工具，但主張將其限定在輔助範疇，不動搖既有學術規範；而董彬自己則屬於第三類，他們更為開放激進，認可AI蘊藏的價值與全新可能，主張擁抱AI，數學家負責方向把控和宏觀研判，將大量繁複的推演工作交由AI承擔，推動人工智能和數學“共同進化”。
1986年，日本數學家宮岡洋一與森重文共同發表了一個關於有理曲線的經典判據：在光滑復射影簇X上，如果一條不可約曲線C滿足K_X·C<0，那麼C上的每一點都有X中的有理曲線經過。經典證明藉助約化到正特徵及Frobenius技術，再回到特徵零。有理曲線是研究高維代數簇結構的重要工具，但學界一直認為這條證明路徑迂迴曲折，期待一份更加簡潔直接的證明，一旦找到，就會對數學工具的發展產生重要價值。
時隔40年，今年9月，董彬團隊與數學合作者公開了這一判據的特徵零代數證明。團隊開發的智能體Pharos在只輸入問題的自主運行中找到證明思路，從項目創建到目標被系統接受用時約20小時，隨後由數學合作者理解、重寫、發展論證並核驗正確性。在273條已驗證的事實中，4條進入最終主定理的依賴鏈，其餘的探索路徑也間接促成了最終結果。董彬認為，觀察AI的推理軌跡，對理解人類自身的思考方式也有啟發，AI能夠在已有數學框架內提出新的思路。
他的另一項工作圍繞形式化“龐加萊猜想”展開。2002年-2003年，俄羅斯數學家佩雷爾曼發佈三篇論文證明“龐加萊猜想”，這是學術界唯一公認由人類數學家解決的千禧年問題。佩雷爾曼的三篇論文僅約60頁，其中大量細節並未展開，數學家們耗費相當長的時間逐步補齊這一猜想的方方面面。形式化“龐加萊猜想”，可驗證經典猜想的可靠性，沉澱出可複用的基礎數學工具代碼。董彬表示，形式化的基礎設施目前仍然薄弱，可複用代碼有助於為其他重要定理和定義的形式化研究提供支撐。在這個過程中，反覆揣摩、理解佩雷爾曼的證明，也對數學有了新的理解。
走出知識本位
董彬的學術軌跡，也是一條不斷“走出數學”的路。
2003年從北京大學數學科學學院畢業後，他先後在新加坡國立大學和加州大學洛杉磯分校獲得數學碩士與博士學位。他和合作者一起揭示了偏微分方程與小波之間的深層聯繫，啟發瞭解決複雜的計算成像問題的新算法。在計算成像的傳統研究方法性能遭遇天花板後，董彬發現，深度學習的預測能力在某些情況下反而顯著優於團隊精心設計的數學模型。2016年，他從圖像處理的數學建模與理論分析，轉向機器學習和人工智能，希望把數學工具和方法同深度學習融合。2022年起，他同步開展AI與數學推理的交叉研究，藉助AI與基礎數學的交叉研究，破解數學領域的痛點。
董彬直言，以培養數學家為責任的研究生教育在當下的AI時代確實面臨突出困境，學生迷茫與焦慮也很正常。但仍然要區分“數學知識”與“數學訓練”。數學知識本身也許並無直接用處，數學訓練所帶來的能力提升則是至關重要的。
數學訓練的價值，不在於掌握了多少定理和定義，而在於獲得思維訓練，這種訓練能讓人在面對複雜問題時迅速看到本質，以第一性原理思考問題，快速學習新事物。因此，需要警惕AI帶給數學教育的風險，學生直接依賴AI完成課業，會喪失高階思維能力的自主訓練。
董彬認為，AI時代的數學教育不必再囿於公式推導與定理證明，而是有機會變得更加有趣。“（藉助AI）我們能夠更好地理解一個概念到底是怎麼得來的、為什麼不能換一種定義方式、它到底描述的是什麼、它稍微變一變可能會發生什麼。”對於學生而言，如果眼下還看不清未來的世界會被AI顛覆到什麼程度，就應當先練好“內功”，尤其是思維模式和認知能力，“學習基礎學科從戰略上來說是更加明智的選擇，因為無論外界怎麼變化，基礎學科能夠鍛煉出站在時代前沿的能力。”
來源：澎湃新聞
